Можно ли так реализовать метод `equals(Object that) {return this.hashCode() == that.hashCode()}`?

Строго говоря нельзя, поскольку метод hashCode() не гарантирует уникальность значения для каждого объекта. Однако для сравнения экземпляров класса Object такой код допустим, т.к. метод hashCode() в классе Object возвращает уникальные значения для разных объектов (его вычисление основано на использовании алгоритма генерации случайных чисел).